Reductio ad absurdum

"El método de reductio ad absurdum es un gambito mucho más hermoso que cualquiera de los que pueda ofrecernos el juego del ajedrez. Un jugador de ajedrez puede sacrificar un peón o una pieza, pero un matemático sacrifica la partida completa."

Godfrey Harold Hardy
Fuente: Gaussianos -> http://gaussianos.com/infinitum-citas-matematicas/

Suponemos una fracción irreducible de la forma p/q tal que ese cociente es igual a la raíz de dos. Elevando al cuadrado se obtiene y despejando se obtiene

p^2=2*q^2

Esto implica que "p^2" es par, puesto que al otro lado de la ecuación hay un dos de por medio. Uno de sus factores es el dos, por lo que el dos también es factor de "p". Al ser divisible por dos podemos expresar "p" de la forma

p=2r

Sustituyendo lo obtenido en la ecuación anterior

4*r^2=2*q^2 -> 2*r^2=q^2

De forma análoga a antes vemos que q^2 es múltiplo de 2, y por lo tanto "q" también lo es de 2. Aquí se llega a la reducción al absurdo, hemos impuesto inicialmente la fracción p/q como irreducible, pero hemos demostrado que se puede simplificar dividiendo por 2. Luego raiz de 2 no se puede expresar como una fracción, es un número irracional. :-)

Los griegos dieron cuenta de este tipo de números y les denominaron "números inconmesurables". Apreciaban mucho la mística de los números enteros, y este no es uno de ellos. :-)

Según me dijeron, los albañiles en las obras saben que

para comprobar si han hecho bien las esquinas. Cogen dos puntos, los dos están a un metro de esta, y los unen. Si está bien construida, esa distancia debe ser 1,41 metros, lo que no saben muchos es de por qué 1,41 y no 1,63